167. 1) \(\sqrt{x-2}>3\) 3) \(\sqrt{3-x}<5\) 5) \(\sqrt{2x-3}>4\) 7) \(\sqrt{3x-5}<5\) 168. 1) \(\sqrt{x^2-1}>1\) 3) \(\sqrt{25-x^2}>4\) 169. 1) \(\sqrt{2x^2+3x-2}>0\) 3) \(\sqrt{6x-x^2}<\sqrt{5}\) 5) \(\sqrt{x^2+2x}>-3-x^2\) 2) \(\sqrt{x-2}<1\) 4) \(\sqrt{4-x}>3\) 6) \(\sqrt{x+1}>\frac{2}{3}\) 8) \(\sqrt{4x+5}\le\frac{1}{2}\) 2) \(\sqrt{1-x^2}<1\) 4) \(\sqrt{25-x^2}<4\) 2) \(\sqrt{2+x-x^2}>-1\) 4) \(\sqrt{x^2-x}>\sqrt{2}\) 6) \(4x-x^2>-2-3x^2\)

Решение:

Разберем каждое неравенство по отдельности.

167.

1. \[ \sqrt{x-2}>3 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(x-2 > 9\).
• Решаем линейное неравенство: \(x > 11\).
• Ответ: \((11;+\infty)\).
2. \[ \sqrt{3-x}<5 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(3-x < 25\).
• Решаем линейное неравенство: \(-x < 22\), \(x > -22\).
• Так как под корнем должно быть неотрицательное число, \(3-x \ge 0\), то \(x \le 3\).
• Объединяем условия: \(-22 < x \le 3\).
• Ответ: \((-22; 3]\).
3. \[ \sqrt{2x-3}>4 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(2x-3 > 16\).
• Решаем линейное неравенство: \(2x > 19\), \(x > 9.5\).
• Ответ: \((9.5;+\infty)\).
4. \[ \sqrt{3x-5}<5 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(3x-5 < 25\).
• Решаем линейное неравенство: \(3x < 30\), \(x < 10\).
• Так как под корнем должно быть неотрицательное число, \(3x-5 \ge 0\), то \(x \ge \frac{5}{3}\).
• Объединяем условия: \(\frac{5}{3} \le x < 10\).
• Ответ: \([\frac{5}{3}; 10)\).

168.

1. \[ \sqrt{x^2-1}>1 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(x^2-1 > 1\).
• Решаем квадратное неравенство: \(x^2 > 2\), \(x < - \sqrt{2}\) или \(x > \sqrt{2}\).
• Так как под корнем должно быть неотрицательное число, \(x^2-1 \ge 0\), то \(x \le -1\) или \(x \ge 1\).
• Объединяем условия: \(x < - \sqrt{2}\) или \(x > \sqrt{2}\).
• Ответ: \((-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty)\).
2. \[ \sqrt{25-x^2}>4 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(25-x^2 > 16\).
• Решаем квадратное неравенство: \(-x^2 > -9\), \(x^2 < 9\), \(-3 < x < 3\).
• Так как под корнем должно быть неотрицательное число, \(25-x^2 \ge 0\), то \(-5 \le x \le 5\).
• Объединяем условия: \(-3 < x < 3\).
• Ответ: \((-3; 3)\).

169.

1. \[ \sqrt{2x^2+3x-2}>0 \]
• Возводим обе части в квадрат: \(2x^2+3x-2 > 0\).
• Найдем корни квадратного трехчлена: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-2)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\), \(x_1 = \frac{-8}{4} = -2\), \(x_2 = \frac{2}{4} = 0.5\).
• Неравенство выполняется при \(x < -2\) или \(x > 0.5\).
• Также необходимо условие \(2x^2+3x-2 \ge 0\), которое выполняется при \(x \le -2\) или \(x \ge 0.5\).
• Объединяем условия: \(x < -2\) или \(x > 0.5\).
• Ответ: \((-\infty; -2) \cup (0.5;+\infty)\).
2. \[ \sqrt{6x-x^2}<\sqrt{5} \]
• Возводим обе части в квадрат: \(6x-x^2 < 5\).
• Решаем квадратное неравенство: \(-x^2 + 6x - 5 < 0\), \(x^2 - 6x + 5 > 0\).
• Найдем корни квадратного трехчлена: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\), \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{10}{2} = 5\).
• Неравенство выполняется при \(x < 1\) или \(x > 5\).
• Также необходимо условие \(6x-x^2 \ge 0\), то есть \(x(6-x) \ge 0\), что выполняется при \(0 \le x \le 6\).
• Объединяем условия: \(0 \le x < 1\) или \(5 < x \le 6\).
• Ответ: \([0; 1) \cup (5; 6]\).
3. \[ \sqrt{x^2+2x}>-3-x^2 \]
• Левая часть неравенства \(\sqrt{x^2+2x}\) всегда неотрицательна (при условии \(x^2+2x \ge 0\)).
• Правая часть неравенства \(-3-x^2\) всегда отрицательна.
• Следовательно, неравенство верно при любых \(x\), для которых определена левая часть.
• Условие \(x^2+2x \ge 0\): \(x(x+2) \ge 0\), что выполняется при \(x \le -2\) или \(x \ge 0\).
• Ответ: \((-\infty; -2] \cup [0;+\infty)\).