167. На рисунке 98 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD = CE, то ∠CAD = ∠BAE и AB = AC; б) если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE и AB = AC.

Так как треугольник ADE равнобедренный с основанием DE, то AD = AE и ∠ADE = ∠AED. Точки B и C лежат на основании DE.

а) Пусть BD = CE.

1. Рассмотрим треугольники ADB и AEC.
2. В них AD = AE, BD = CE, а ∠ADB = ∠AEC, поскольку эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника ADE.
3. Следовательно, треугольники ADB и AEC равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Отсюда AB = AC и ∠DAB = ∠CAE.
5. Поскольку лучи AB и AC расположены внутри угла DAE, имеем: \(\angle CAD = \angle DAE - \angle CAE\), а \(\angle BAE = \angle DAE - \angle DAB\). Так как \(\angle DAB = \angle CAE\), то ∠CAD = ∠BAE.

б) Пусть ∠CAD = ∠BAE.

1. Вычтем равные углы из общего угла DAE. Получим ∠DAB = ∠CAE.
2. Рассмотрим треугольники ADB и AEC. Для них \(AD = AE\), \(\angle ADB = \angle AEC\), а также \(\angle DAB = \angle CAE\).
3. Следовательно, треугольники ADB и AEC подобны по двум углам.
4. Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: \(\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CE}\).
5. Так как \(AD = AE\), отношение равно 1. Поэтому AB = AC и BD = CE.

Ответ: а) ∠CAD = ∠BAE, AB = AC; б) BD = CE, AB = AC.