167. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 56 и 70; 2) 78 и 792; 3) 320 и 720; 4) 252 и 840.

Решение:

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

1. НОК(56, 70)

• Разложим числа на простые множители:
• $$56 = 2^3 \cdot 7$$
• $$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 40 \cdot 7 = 280$$

2. НОК(78, 792)

• Разложим числа на простые множители:
• $$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$$
• $$792 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 13 = 8 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 = 72 \cdot 143 = 10296$$

3. НОК(320, 720)

• Разложим числа на простые множители:
• $$320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot 2 \cdot 5 = 2^6 \cdot 5$$
• $$720 = 72 \cdot 10 = 8 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 = 64 \cdot 9 \cdot 5 = 576 \cdot 5 = 2880$$

4. НОК(252, 840)

• Разложим числа на простые множители:
• $$252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$$
• $$840 = 84 \cdot 10 = 4 \cdot 21 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$$

Ответ: 1) 280; 2) 10296; 3) 2880; 4) 2520.