167 Найдите значение: а) C(20, 7) и C(21, 7) б) C(30, 5) и C(23, 5) в) C(34, 12) и C(34, 22) г) C(12, 5) и C(12, 7) д) C(302, 300) и C(302, 2) е) C(101, 100) и C(101, 1)

Задание 167. Сочетания

Для решения этого задания нам понадобится формула сочетаний \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) и основное свойство сочетаний: \( C(n, k) = C(n, n-k) \).

Теперь применим это к каждому пункту:

а) \( C(20, 7) \) и \( C(21, 7) \)

• \( C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!} \)
• \( C(21, 7) = \frac{21!}{7!(21-7)!} = \frac{21!}{7!14!} \)
• Так как \( 20! \neq 21! \) и \( 13! \neq 14! \), то \( C(20, 7) \neq C(21, 7) \).

б) \( C(30, 5) \) и \( C(23, 5) \)

• \( C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!} \)
• \( C(23, 5) = \frac{23!}{5!(23-5)!} = \frac{23!}{5!18!} \)
• Так как \( 30! \neq 23! \) и \( 25! \neq 18! \), то \( C(30, 5) \neq C(23, 5) \).

в) \( C(34, 12) \) и \( C(34, 22) \)

• Здесь мы видим, что \( n=34 \) в обоих случаях.
• Проверим условие \( k = n-k \): \( 22 = 34 - 12 \).
• По свойству сочетаний \( C(n, k) = C(n, n-k) \), то есть \( C(34, 12) = C(34, 34-12) = C(34, 22) \).

г) \( C(12, 5) \) и \( C(12, 7) \)

• Здесь \( n=12 \) в обоих случаях.
• Проверим условие \( k = n-k \): \( 7 = 12 - 5 \).
• По свойству сочетаний \( C(n, k) = C(n, n-k) \), то есть \( C(12, 5) = C(12, 12-5) = C(12, 7) \).

д) \( C(302, 300) \) и \( C(302, 2) \)

• Здесь \( n=302 \) в обоих случаях.
• Проверим условие \( k = n-k \): \( 2 = 302 - 300 \).
• По свойству сочетаний \( C(n, k) = C(n, n-k) \), то есть \( C(302, 300) = C(302, 302-300) = C(302, 2) \).

е) \( C(101, 100) \) и \( C(101, 1) \)

• Здесь \( n=101 \) в обоих случаях.
• Проверим условие \( k = n-k \): \( 1 = 101 - 100 \).
• По свойству сочетаний \( C(n, k) = C(n, n-k) \), то есть \( C(101, 100) = C(101, 101-100) = C(101, 1) \).

Ответ: Равными являются значения в пунктах в), г), д), е).