167. Решить неравенства: 1) \(\sqrt{x-2}>3\); 2) \(\sqrt{x-2}<1\); 3) \(\sqrt{3-x}<5\); 4) \(\sqrt{4-x}>3\); 5) \(\sqrt{2x-3}>4\); 6) \(\sqrt{x+1}\ge\frac{2}{3}\); 7) \(\sqrt{3x-5}<5\); 8) \(\sqrt{4x+5}\le\frac{1}{2}\).

Для квадратного корня учитываем область определения: подкоренное выражение неотрицательно. Когда обе части неравенства неотрицательны, возводим их в квадрат.

1. Область определения: \(x\ge2\). Так как правая часть положительна, получаем \(x-2>9\), откуда \(x>11\).

2. Область определения: \(x\ge2\). Возводим в квадрат: \(x-2<1\), значит, \(x<3\). Пересечение условий: \(x\in[2;3)\).

3. Область определения: \(x\le3\). Так как \(5>0\), неравенство равносильно \(3-x<25\), то есть \(x>-22\). Пересечение условий: \(x\in(-22;3]\).

4. Область определения: \(x\le4\). Возводим в квадрат: \(4-x>9\), откуда \(x<-5\). Это удовлетворяет области определения.

5. Область определения: \(2x-3\ge0\), то есть \(x\ge\frac32\). Возводим в квадрат: \(2x-3>16\), значит, \(x>\frac{19}{2}\).

6. Область определения: \(x\ge-1\). Обе части неотрицательны, поэтому \(x+1\ge\frac49\), откуда \(x\ge-\frac59\). Это условие входит в область определения.

7. Область определения: \(3x-5\ge0\), то есть \(x\ge\frac53\). Возводим в квадрат: \(3x-5<25\), значит, \(x<10\). Пересечение условий: \(x\in[\frac53;10)\).

8. Область определения: \(4x+5\ge0\), то есть \(x\ge-\frac54\). Возводим в квадрат: \(4x+5\le\frac14\), откуда \(x\le-\frac{19}{16}\). Пересечение условий: \(x\in[-\frac54;-\frac{19}{16}]\).

Ответ: 1) \(x>11\); 2) \([2;3)\); 3) \((-22;3]\); 4) \(x<-5\); 5) \(x>\frac{19}{2}\); 6) \(x\ge-\frac59\); 7) \([\frac53;10)\); 8) \([-\frac54;-\frac{19}{16}]\).