168. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 42 и 63; 2) 120 и 324; 3) 675 и 945; 4) 924 и 396.

Решение:

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

1. НОК(42, 63)

• Разложим числа на простые множители:
• $$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$$
• $$63 = 3^2 \cdot 7$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 18 \cdot 7 = 126$$

2. НОК(120, 324)

• Разложим числа на простые множители:
• $$120 = 12 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$
• $$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 = 8 \cdot 81 \cdot 5 = 648 \cdot 5 = 3240$$

3. НОК(675, 945)

• Разложим числа на простые множители:
• $$675 = 25 \cdot 27 = 5^2 \cdot 3^3$$
• $$945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot 9 \cdot 21 = 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 = 5 \cdot 3^3 \cdot 7$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 27 \cdot 25 \cdot 7 = 675 \cdot 7 = 4725$$

4. НОК(924, 396)

• Разложим числа на простые множители:
• $$924 = 4 \cdot 231 = 2^2 \cdot 3 \cdot 77 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$$
• $$396 = 4 \cdot 99 = 2^2 \cdot 9 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$$
• Выберем все множители с наибольшей степенью: $$2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 = 36 \cdot 77 = 2772$$

Ответ: 1) 126; 2) 3240; 3) 4725; 4) 2772.