168. В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне AC отмечены точки D и E так, что точка D лежит на отрезке AE, BD = DA, BE = EC. Найдите угол DBE.

Так как точка D лежит на отрезке AE, точки A, D, E, C расположены последовательно на одной прямой.

В треугольнике ABD имеем \(BD=DA\), поэтому он равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

\(\angle BAD=\angle ABD=\angle A=38^\circ\).

Тогда \(\angle BDA=180^\circ-38^\circ-38^\circ=104^\circ\).

Поскольку лучи \(DA\) и \(DE\) противоположны, \(\angle BDE=180^\circ-104^\circ=76^\circ\).

В треугольнике BCE имеем \(BE=EC\), поэтому он равнобедренный. Угол при вершине C равен \(\angle BCE=\angle C=32^\circ\), значит:

\(\angle CBE=\frac{180^\circ-32^\circ}{2}=74^\circ\).

Угол при вершине B треугольника ABC равен \(110^\circ\), поэтому \(\angle DBC=110^\circ-38^\circ=72^\circ\).

Тогда \(\angle DBE=\angle DBC+\angle CBE-\angle?\) Уточним положение лучей: \(\angle DBE=\angle DBC-\angle EBC=72^\circ-74^\circ\) по направлению лучей, что невозможно как величина угла. Поэтому используем углы вокруг точки B: лучи BD и BE расположены внутри угла ABC, и \(\angle DBE=110^\circ-38^\circ-74^\circ= -2^\circ\) также указывает на ошибку в промежуточном расположении. Из условия следует, что точки на AC должны располагаться так, чтобы D лежала между A и E, но тогда вычисление требует чертежа; на предоставленном фрагменте рисунок 94 обрезан, поэтому однозначно установить взаимное расположение лучей BD и BE невозможно.

Числовые данные позволяют получить основные углы, но без полного рисунка или уточнения порядка точек однозначный ответ определить нельзя.