169. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 99. Точки D, E, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник DEF равносторонний, необходимо показать, что все его стороны равны, то есть DE = EF = FD. Поскольку треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA, и все его углы равны 60 градусам. По условию, AD = BE = CF. Рассмотрим треугольники ADE, BEF и CFD.

1. В треугольнике ADE:
AD = BE = CF по условию.
∠A = 60° (так как ABC равносторонний).
Сторона AB = BC = CA, и пусть мы отложили отрезки AD, BE, CF одинаковой длины. Значит, оставшиеся отрезки DB = EC = FA также равны. По свойству равенства отрезков, если мы отняли от равных отрезков (AB, BC, CA) одинаковые (AD, BE, CF), то остатки тоже равны (DB=EC=FA).

2. В треугольнике BEF:
BE = CF = AD по условию.
∠B = 60°.

3. В треугольнике CFD:
CF = AD = BE по условию.
∠C = 60°.

Итак, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): треугольник ADE = треугольнику BEF = треугольнику CFD. Следовательно, DE = EF = FD. Раз все стороны треугольника DEF равны, значит, он является равносторонним.

**Ответ:** Треугольник DEF равносторонний, что и требовалось доказать.