Ответ:

  1. Молодой Дубровский хотел заняться делами. Пишется заняться: после глагола хотел употребляется инфинитив с суффиксом -ть.
  2. Владимир начинал сильно беспокоиться. Пишется беспокоиться: инфинитив имеет суффикс -ть.
  3. Девочка перестала плакать.
  4. В эту ночь долго не мог уснуть Димка. Частица не с глаголом пишется раздельно.
  5. С вокзала Женя не успела послать телеграмму отцу. Частица не с глаголом пишется раздельно.
  6. Замечания Котовцева перестали занимать Марию Петровну.
  7. Я был готов любить весь мир. Сочетание был готов выражает готовность к действию, названному инфинитивом.
  8. Кирилл решил навестить мать.
  9. Вы должны трудиться.
  10. Если вдруг на дворе будет дождь и слякоть, мы, готовя уроки, хотим не плакать. Слово вдруг пишется слитно, а частица не с глаголом — раздельно.

Ответ: составные глагольные сказуемые: хотел заняться, начинал беспокоиться, перестала плакать, не мог уснуть, не успела послать, перестали занимать, был готов любить, решил навестить, должны трудиться, будет дождь, хотим не плакать.