169. Площадь равнобедренного треугольника равна 144√3. Угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Обозначим длину боковой стороны через \(x\). Угол между боковыми сторонами — \(120^\circ\), поэтому площадь равна \(S=\frac12x^2\sin120^\circ\).

Так как \(\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем:

\(144\sqrt3=\frac12x^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x^2\sqrt3}{4}\).

Делим на \(\sqrt3\) и умножаем на 4: \(x^2=576\), откуда \(x=24\) (длина положительна).

Ответ: 24.