16 Решить систему уравнений 1) { 3x+y = 5 (x+2)/5 + y/2 = -1 3) { x^2+y^2=10 xy = 3 4) { (2x+3)^2 = 5y (3x+2)^2 = 5y 5) { 2x^2+3y^2 = 11 4x^2+6y^2 = 11x 2) { x-y=-5 x^2-2xy-y^2=17

Решение системы уравнений:

1)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 5 - 3x \).
2. Подставим во второе уравнение: \( \frac{x+2}{5} + \frac{5-3x}{2} = -1 \).
3. Умножим обе части на 10: \( 2(x+2) + 5(5-3x) = -10 \).
4. Раскроем скобки: \( 2x + 4 + 25 - 15x = -10 \).
5. Приведём подобные слагаемые: \( -13x + 29 = -10 \).
6. Решим линейное уравнение: \( -13x = -39 \) \( \implies x = 3 \).
7. Найдём \( y \): \( y = 5 - 3 \cdot 3 = 5 - 9 = -4 \).

Ответ: \( x = 3, y = -4 \).

2)

1. Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = y - 5 \).
2. Подставим во второе уравнение: \( (y-5)^2 - 2(y-5)y - y^2 = 17 \).
3. Раскроем скобки: \( y^2 - 10y + 25 - 2y^2 + 10y - y^2 = 17 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( -2y^2 + 25 = 17 \).
5. Решим квадратное уравнение: \( -2y^2 = -8 \) \( \implies y^2 = 4 \) \( \implies y = 2 \).
6. Найдём \( x \):
• При \( y = 2 \): \( x = 2 - 5 = -3 \).
• При \( y = -2 \): \( x = -2 - 5 = -7 \).

Ответ: \( (-3, 2); (-7, -2) \).

3)

1. Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = \frac{3}{x} \).
2. Подставим в первое уравнение: \( x^2 + (\frac{3}{x})^2 = 10 \).
3. Упростим: \( x^2 + \frac{9}{x^2} = 10 \).
4. Умножим обе части на \( x^2 \): \( x^4 + 9 = 10x^2 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \).
6. Сделаем замену \( t = x^2 \): \( t^2 - 10t + 9 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение для \( t \): \( (t-1)(t-9) = 0 \) \( \implies t=1 \) или \( t=9 \).
8. Вернёмся к \( x \):
• Если \( x^2 = 1 \), то \( x = 1 \).
• Если \( x^2 = 9 \), то \( x = 3 \).
9. Найдём соответствующие значения \( y \):
• При \( x=1 \): \( y = 3/1 = 3 \).
• При \( x=-1 \): \( y = 3/(-1) = -3 \).
• При \( x=3 \): \( y = 3/3 = 1 \).
• При \( x=-3 \): \( y = 3/(-3) = -1 \).

Ответ: \( (1, 3); (-1, -3); (3, 1); (-3, -1) \).

4)

1. Данная система состоит из двух уравнений: \( (2x+3)^2 = 5y \) и \( (3x+2)^2 = 5y \).
2. Так как правые части равны, приравняем левые: \( (2x+3)^2 = (3x+2)^2 \).
3. Раскроем скобки: \( 4x^2 + 12x + 9 = 9x^2 + 12x + 4 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( 4x^2 + 9 = 9x^2 + 4 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( 5x^2 = 5 \) \( \implies x^2 = 1 \) \( \implies x = 1 \).
6. Найдём \( y \) подставив \( x \) в любое из уравнений. Возьмём \( (2x+3)^2 = 5y \):
• При \( x=1 \): \( (2(1)+3)^2 = 5y \) \( \implies 5^2 = 5y \) \( \implies 25 = 5y \) \( \implies y = 5 \).
• При \( x=-1 \): \( (2(-1)+3)^2 = 5y \) \( \implies (-2+3)^2 = 5y \) \( \implies 1^2 = 5y \) \( \implies 1 = 5y \) \( \implies y = 1/5 \).

Ответ: \( (1, 5); (-1, 1/5) \).

5)

1. Умножим второе уравнение на 2: \( 2(4x^2+6y^2) = 2(11x) \) \( \implies 8x^2+12y^2 = 22x \).
2. Умножим первое уравнение на 2: \( 2(2x^2+3y^2) = 2(11) \) \( \implies 4x^2+6y^2 = 22 \).
3. Теперь у нас есть система:
• \( 4x^2+6y^2 = 22 \)
• \( 8x^2+12y^2 = 22x \)
4. Из первого уравнения выразим \( 6y^2 = 22 - 4x^2 \).
5. Подставим это во второе уравнение (заменив \( 12y^2 \) на \( 2(6y^2) \)): \( 8x^2 + 2(22 - 4x^2) = 22x \).
6. Раскроем скобки: \( 8x^2 + 44 - 8x^2 = 22x \).
7. Упростим: \( 44 = 22x \) \( \implies x = 2 \).
8. Подставим \( x=2 \) в первое уравнение \( 2x^2+3y^2 = 11 \): \( 2(2^2) + 3y^2 = 11 \) \( \implies 2(4) + 3y^2 = 11 \) \( \implies 8 + 3y^2 = 11 \) \( \implies 3y^2 = 3 \) \( \implies y^2 = 1 \) \( \implies y = 1 \).

Ответ: \( (2, 1); (2, -1) \).