16x^2 - 16xy + 4y^2 = 4x

Решение:

Это уравнение является уравнением конического сечения. Перегруппируем члены, чтобы привести его к стандартному виду.

Выделим полные квадраты:

\( 16x^2 - 16xy + 4y^2 - 4x = 0 \)

Заметим, что \( 16x^2 - 16xy + 4y^2 \) похоже на \( (ax - by)^2 \). Если мы возьмем \( a=4 \) и \( b=2 \), то \( (4x - 2y)^2 = 16x^2 - 16xy + 4y^2 \).

Таким образом, уравнение можно переписать как:

\[ (4x - 2y)^2 - 4x = 0 \]

Это уравнение представляет собой параболу. Чтобы привести его к стандартной форме, сделаем замену переменных.

Пусть \( u = 4x - 2y \) и \( v = 4x + 2y \). Тогда \( x = \frac{u+v}{4} \) и \( y = \frac{v-u}{4} \).

Подставим \( u \) в уравнение:

\[ u^2 - 4 \left( \frac{u+v}{4} \right) = 0 \]

\[ u^2 - (u+v) = 0 \]

\[ u^2 - u - v = 0 \]

\[ v = u^2 - u \]

Это уравнение параболы в системе координат \( u, v \).

Чтобы вернуться к исходным переменным, мы можем выделить полный квадрат для \( u \):

\[ v = \left( u - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \]

\[ v + \frac{1}{4} = \left( u - \frac{1}{2} \right)^2 \]

Теперь подставим обратно \( u = 4x - 2y \) и \( v = 4x + 2y \):

\[ (4x + 2y) + \frac{1}{4} = \left( (4x - 2y) - \frac{1}{2} \right)^2 \]

Это уравнение описывает параболу.

Примечание: Без дополнительного контекста или указания на то, какой именно вид ответа требуется (например, стандартная форма уравнения параболы, или описание ее свойств), предоставлено преобразование уравнения к виду, позволяющему идентифицировать его как параболу.

Ответ: Уравнение \( 16x^2 - 16xy + 4y^2 = 4x \) является уравнением параболы. Его можно преобразовать к виду \( \left( 4x - 2y - \frac{1}{2} \right)^2 = 4x + 2y + \frac{1}{4} \).