16x²+8x+1 ≤0. 4x²-19x-5 Решите неравенство Решение.

Решение неравенства

Чтобы решить это неравенство, нам нужно проанализировать числитель и знаменатель дроби отдельно.

1. Числитель:\[ 16x^2 + 8x + 1 = 0 \]\[ (4x + 1)^2 = 0 \]Отсюда, \( x = -\frac{1}{4} \).
2. Знаменатель:\[ 4x^2 - 19x - 5 = 0 \]Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \) \( D = (-19)^2 - 4(4)(-5) = 361 + 80 = 441 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \)Корни: \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 21}{2 \times 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \) \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 21}{2 \times 4} = \frac{40}{8} = 5 \)Таким образом, знаменатель равен нулю при \( x = -\frac{1}{4} \) и \( x = 5 \).
3. Анализ знаков:\[ \frac{(4x + 1)^2}{(4x + 1)(x - 5)} \le 0 \]Мы можем сократить \( (4x + 1) \) при условии, что \( x
   e -\frac{1}{4} \) и \( x
   e 5 \).\[ \frac{4x + 1}{x - 5} \le 0 \]Рассмотрим интервалы:
   
   • Интервал 1: \( x < -\frac{1}{4} \). Например, \( x = -1 \). \( \frac{4(-1) + 1}{-1 - 5} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} > 0 \)
   • Интервал 2: \( -\frac{1}{4} < x < 5 \). Например, \( x = 0 \). \( \frac{4(0) + 1}{0 - 5} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} < 0 \)
   • Интервал 3: \( x > 5 \). Например, \( x = 6 \). \( \frac{4(6) + 1}{6 - 5} = \frac{25}{1} = 25 > 0 \)
4. Учет граничных точек:
   
   • Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
     e 5 \).
   • Числитель равен нулю при \( x = -\frac{1}{4} \). Так как неравенство нестрогое (\( \le 0 \)), эта точка включается в решение, но только если она не делает знаменатель равным нулю. В данном случае \( x = -\frac{1}{4} \) является корнем и числителя, и знаменателя, что означает, что это точка разрыва.
5. Итоговое решение:
   При сокращении мы получили \( \frac{4x+1}{x-5} \le 0 \). Решение этого неравенства - интервал \( (-\frac{1}{4}; 5) \). Однако, исходное неравенство имеет \( (4x+1)^2 \) в числителе. Это значит, что \( x = -\frac{1}{4} \) является корнем четной кратности для числителя. При \( x = -\frac{1}{4} \) исходное неравенство равно \( \frac{0}{0} \), что неопределено.
6. Пересмотр после сокращения:
   Неравенство \( \frac{(4x + 1)^2}{(4x + 1)(x - 5)} \le 0 \) эквивалентно \( \frac{4x+1}{x-5} \le 0 \) при \( x
   e -1/4 \).
   Решением \( \frac{4x+1}{x-5} \le 0 \) является интервал \( (-1/4; 5] \).
   Но нам нужно учесть, что \( x
   e -1/4 \). Поэтому, окончательное решение: \( (-1/4; 5] \).

Ответ: \( x \in (-\frac{1}{4}; 5] \)