17.1. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность: а) y = 3x + 3; б) y = x³ + 2x + 1, x ≥ −1.

а) Возьмём любые x₁ и x₂, где x₁ < x₂. Тогда x₂ − x₁ > 0, и

y(x₂) − y(x₁) = (3x₂ + 3) − (3x₁ + 3) = 3(x₂ − x₁) > 0.

Следовательно, функция строго возрастает.

б) Возьмём любые x₁ и x₂ из области x ≥ −1, где x₁ < x₂. Тогда

y(x₂) − y(x₁) = x₂³ − x₁³ + 2(x₂ − x₁) = (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁² + 2).

Первый множитель положителен. Во втором множителе x₂² + x₁x₂ + x₁² ≥ 0, поскольку x₂² + x₁x₂ + x₁² = ½((x₁ + x₂)² + x₁² + x₂²). Значит, второй множитель положителен, поэтому y(x₂) − y(x₁) > 0.

Ответ: обе функции строго возрастают на указанных областях определения.