17.25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) $\frac{\sqrt5}{\sqrt5-2}$; 2) $\frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt2}$; 3) $\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$; 4) $\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 17.25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) $\frac{\sqrt5}{\sqrt5-2}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt5+2$:
\[\frac{\sqrt5}{\sqrt5-2}=\frac{\sqrt5(\sqrt5+2)}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\frac{5+2\sqrt5}{5-4}=5+2\sqrt5.\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{10}+\sqrt2$:
\[\frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt2}=\frac{8(\sqrt{10}+\sqrt2)}{10-2}=\sqrt{10}+\sqrt2.\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{x}-\sqrt{y}$:
\[\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{9(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y},\qquad x\ne y.\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение $2-\sqrt2$:
\[\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{(2-\sqrt2)^2}{4-2}=\frac{6-4\sqrt2}{2}=3-2\sqrt2.\]

17.25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) \(\frac{\sqrt5}{\sqrt5-2}\); 2) \(\frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt2}\); 3) \(\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\); 4) \(\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\).