17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию f(x) = 2x³-3x²-36х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Исследование функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x \)

1. Находим производную функции:
   \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x)' = 6x^2 - 6x - 36 \)
2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
   \( 6x^2 - 6x - 36 = 0 \)
   Разделим на 6:
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \), \( x_1 x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
3. Определяем промежутки возрастания и убывания:
   Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на интервалах:
   
   • При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -2 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

   Выводы:

   • Промежутки возрастания: \( (-\infty; -2] \) и \( [3; +\infty) \).
   • Промежуток убывания: \( [-2; 3] \).
4. Находим точки экстремума:
   
   • В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
     \( f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) = 2(-8) - 3(4) + 72 = -16 - 12 + 72 = 44 \). Точка максимума: \( (-2; 44) \).
   • В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
     \( f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) - 3(9) - 108 = 54 - 27 - 108 = -81 \). Точка минимума: \( (3; -81) \).

Ответ:
Промежутки возрастания: \( (-\infty; -2] \) и \( [3; +\infty) \).
Промежуток убывания: \( [-2; 3] \).
Точка максимума: \( (-2; 44) \).
Точка минимума: \( (3; -81) \).