17. \(\begin{vmatrix}\) 1 & a & a^4 \\ 1 & b & b^4 \\ 1 & c & c^4 \(\end{vmatrix}\)

Решение:

Это определитель Вандермонда.

Общая формула определителя Вандермонда для n=3:

\[ \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) \]

В данном случае у нас стоят \( a^4, b^4, c^4 \) вместо \( a^2, b^2, c^2 \).

Можно сделать замену переменных: пусть \( A = a^2 \), \( B = b^2 \), \( C = c^2 \).

Тогда определитель примет вид:

\[ \begin{vmatrix} 1 & a & A \\ 1 & b & B \\ 1 & c & C \end{vmatrix} \]

По формуле определителя Вандермонда:

\[ (b-a)(c-a)(c-b) \cdot \text{умножить на } (A, B, C) \text{ вместо } (a^2, b^2, c^2) \]

Возвращаясь к исходным переменным:

\[ (b-a)(c-a)(c-b) \cdot (b^2-a^2)(c^2-a^2)(c^2-b^2) \]

Раскроем скобки, используя разность квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \):

\[ (b-a)(c-a)(c-b) \cdot (b-a)(b+a) \cdot (c-a)(c+a) \cdot (c-b)(c+b) \]

Перегруппируем слагаемые:

\[ (b-a)(b-a) \cdot (c-a)(c-a) \cdot (c-b)(c-b) \cdot (b+a)(c+a)(c+b) \]

\[ (b-a)^2 (c-a)^2 (c-b)^2 (a+b)(a+c)(b+c) \]

Ответ: \( (b-a)^2 (c-a)^2 (c-b)^2 (a+b)(a+c)(b+c) \).