17. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.

Точка F лежит на биссектрисах углов A и B, поэтому расстояния от неё до прямых AD и BC равны. Так как AD ∥ BC, точка F находится на средней линии, равноудалённой от этих параллельных прямых.

Рассмотрим треугольник AFB. Угол F лежит на пересечении биссектрис, а углы при A и B равны половинам углов трапеции. Поскольку соседние углы при боковой стороне AB supplementary, получаем:

\[\angle AFB=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2}=90^\circ.\]

Следовательно, треугольник AFB прямоугольный, причём AB — его гипотенуза. По теореме Пифагора:

\[AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20.\]

Ответ: 20.