17 Диагональ прямоугольника образует угол 50° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей, \(A, B, C, D\) - вершины прямоугольника. Пусть \(AC\) и \(BD\) - диагонали. Диагональ \(AC\) образует угол 50° с одной из сторон, например, со стороной \(AB\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). Угол \(CAB = 50^\circ\). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол \(CBA = 90^\circ\), а угол \(BCA = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим треугольник \(OAB\). У нас есть, что \(OA = OB\) (половины равных диагоналей), значит, треугольник \(OAB\) - равнобедренный.

Угол \(OAB = 50^\circ\) (это тот же угол \(CAB\)).

Так как \(OAB\) - равнобедренный треугольник, то углы при основании равны: \( ∠ OAB = ∠ OBA = 50^\circ \).

Сумма углов в треугольнике \(OAB\) равна 180°. Угол между диагоналями \(AO\) и \(BO\) (угол \(AOB\)) равен:

\[ ∠ AOB = 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) \]\[ ∠ AOB = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) \]\[ ∠ AOB = 180^\circ - 100^\circ \]\[ ∠ AOB = 80^\circ \]

Ответ: 80