17. Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагональ AC образует угол 86° с одной из его сторон, например, со стороной AB. Значит, \( \angle BAC = 86^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. Так как \( \angle ABC = 90^{\circ} \), то \( \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 86^{\circ} = 4^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник AOB. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) являются углами при основании равнобедренных треугольников, на которые делятся диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( AO = BO = CO = DO \).

В треугольнике AOB, \( AO = BO \), поэтому он равнобедренный. Угол \( \angle BAC = 86^{\circ} \) не может быть углом при основании, так как он больше 45°. Следовательно, \( \angle BCA = 4^{\circ} \) является углом при основании.

Рассмотрим треугольник BOC. Угол \( \angle BOC \) является углом при вершине. Угол \( \angle OCB = \angle BCA = 4^{\circ} \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) не могут быть углами при основании равнобедренных треугольников AOB и BOC соответственно, так как в прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BAC = 86^{\circ} \) и \( \angle BCA = 4^{\circ} \).

Рассмотрим угол между диагоналями. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Нас интересует острый угол между ними.

В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 86^{\circ} \) и \( \angle BCA = 4^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник BOC. \( BO = CO \). Угол \( \angle OCB = \angle BCA = 4^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) является внешним углом треугольника ABO. \( \angle BOC = \angle BAC + \angle ABC_{part} \). Это неверно.

Рассмотрим треугольник AOB. \( AO = BO \). Угол \( \angle BAO \) равен углу \( \angle BCA \), так как это накрест лежащие углы при параллельных сторонах AB и CD и секущей AC. Это неверно.

Углы при основании равнобедренного треугольника ABC: \( \angle BAC = 86^{\circ} \) и \( \angle BCA = 4^{\circ} \). Это верно.

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке O. \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник BOC. \( BO = CO \). Угол \( \angle OCB = \angle BCA = 4^{\circ} \). Следовательно, \( \angle OBC = \angle OCB = 4^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) в треугольнике BOC равен \( 180^{\circ} - (4^{\circ} + 4^{\circ}) = 180^{\circ} - 8^{\circ} = 172^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) и угол \( \angle AOB \) — вертикальные, поэтому \( \angle AOB = 172^{\circ} \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOB \) — тупые. Острый угол между диагоналями — это смежный угол к тупому углу. Рассмотрим угол \( \angle AOD \), который равен \( \angle BOC \) (вертикальные). Рассмотрим угол \( \angle AOB \).

Угол \( \angle COD \) равен \( \angle AOB = 172^{\circ} \). Угол \( \angle BOC \) равен \( \angle AOD = 4^{\circ} \). Это неверно. Угол \( \angle BOC = 172^{\circ} \).

Углы, которые образуют диагонали: \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \).

\( \angle BOC = 172^{\circ} \) (тупой).

Угол \( \angle AOB \) равен \( 180^{\circ} - 172^{\circ} = 8^{\circ} \) (острый).

Угол \( \angle AOD \) равен \( 180^{\circ} - 172^{\circ} = 8^{\circ} \) (острый).

Угол \( \angle COD \) равен \( 172^{\circ} \) (тупой).

Таким образом, острые углы между диагоналями равны 8°.

Проверка:

В прямоугольнике ABCD, диагональ AC образует угол \( 86^{\circ} \) со стороной AB. Это значит, что \( \angle BAC = 86^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BCA = 90^{\circ} - 86^{\circ} = 4^{\circ} \).

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( BO = CO \), значит, \( \triangle BOC \) — равнобедренный. \( \angle OCB = \angle BCA = 4^{\circ} \).

Тогда \( \angle OBC = \angle OCB = 4^{\circ} \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle BOC \)).

Угол \( \angle BOC \) (угол между диагоналями) равен \( 180^{\circ} - (\angle OCB + \angle OBC) = 180^{\circ} - (4^{\circ} + 4^{\circ}) = 180^{\circ} - 8^{\circ} = 172^{\circ} \).

\( \angle BOC \) — тупой угол между диагоналями.

Острый угол между диагоналями — это смежный с ним угол. \( 180^{\circ} - 172^{\circ} = 8^{\circ} \).

Ответ: 8