17. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения (2n − 3)(3n + 5) − (2n + 1)(3n − 1) + 21n делится на 7.

Раскроем скобки:

\((2n-3)(3n+5)=6n^2+n-15\), а \((2n+1)(3n-1)=6n^2+n-1\).

Подставим и приведём подобные слагаемые:

\((6n^2+n-15)-(6n^2+n-1)+21n=21n-14\).

Вынесем 7 за скобки: \(21n-14=7(3n-2)\). Поскольку \(3n-2\) — целое число при любом натуральном \(n\), исходное выражение делится на 7.

Доказано.