17) Костя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 26, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 12, но больше 8. Какие два числа задумал Костя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть задуманные числа x и y, где x > y.
Из условия известно, что x + y = 26 и 8 < x - y < 12.
Выразим y из первого уравнения: y = 26 - x.
Теперь подставим это во второе неравенство: 8 < x - (26 - x) < 12
Упрощаем: 8 < 2x - 26 < 12. Прибавим 26 к каждой части неравенства: 8+26 < 2x < 12+26, то есть 34 < 2x < 38. Разделим на 2: 17 < x < 19.
Так как x натуральное число, единственное возможное значение x = 18.
Теперь найдем y: y = 26 - 18 = 8.
Проверяем разность: 18 - 8 = 10, что удовлетворяет условию 8 < 10 < 12.
Других вариантов нет, так как x может принимать только целые значения, а 17 < x < 19, только 18.
Ответ: 18 и 8.