17) Миша задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 18, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Миша? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Решение:
1. Пусть первое число x, а второе число y. Из условия известно, что x + y = 18.
2. Также известно, что разность чисел (например, x - y) больше 10, но меньше 14. То есть 10 < x - y < 14.
3. Так как x и y - натуральные числа, перечислим пары чисел, дающих в сумме 18: (1,17), (2,16), (3,15), (4,14), (5,13), (6,12), (7,11), (8,10), (9,9), (10,8), (11,7), (12,6), (13,5), (14,4), (15,3), (16,2), (17,1).
4. Посчитаем разность для каждой пары (будем от большего отнимать меньшее), обращая внимание на ограничение 10 < x - y < 14:
- (17, 1): 17 - 1 = 16 (не подходит)
- (16, 2): 16 - 2 = 14 (не подходит)
- (15, 3): 15 - 3 = 12 (подходит)
- (14, 4): 14 - 4 = 10 (не подходит)
- (13, 5): 13 - 5 = 8 (не подходит)
Остальные разности будут меньше, чем 8.
5. Таким образом, единственная пара чисел, которая удовлетворяет условию - это (15, 3).
Или (3, 15), но поскольку разность в условии не определена как x-y, можно считать 15-3.
Ответ: Миша задумал числа 15 и 3.