17. Найди значение выражения \(\frac{9x - 4y}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}\) + 5\(\sqrt{y}\), если \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\) = 6.

Привет! Давай разберём эту задачку по математике вместе.

У нас есть выражение: $\backslash (\backslash frac\{9x\; -\; 4y\}\{3\backslash sqrt\{x\}\; +\; 2\backslash sqrt\{y\}\}\backslash )\; +\; 5\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )$ И условие: $\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; +\; \backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )\; =\; 6$

Смотри, какая хитрость может помочь нам упростить выражение. Попробуем привести числитель первой дроби к виду квадрата разности, но для этого нам нужно кое-что добавить и вычесть. Сначала запишем числитель так, чтобы увидеть знакомую формулу:

$9x\; -\; 4y\; =\; \backslash (3\backslash sqrt\{x\}\backslash )^2\; -\; \backslash (2\backslash sqrt\{y\}\backslash )^2$

Это формула разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. Применим её:

$\backslash (3\backslash sqrt\{x\}\; -\; 2\backslash sqrt\{y\}\backslash )\backslash (3\backslash sqrt\{x\}\; +\; 2\backslash sqrt\{y\}\backslash )$

Теперь подставим это обратно в нашу дробь:

$\backslash (\backslash frac\backslash )\{\backslash (3\backslash sqrt\{x\}\; -\; 2\backslash sqrt\{y\}\backslash )\backslash (3\backslash sqrt\{x\}\; +\; 2\backslash sqrt\{y\}\backslash )\}\{3\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; +\; 2\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )\}$

Видим, что множитель $$(3\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$$ есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить! Остаётся:

$3\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; -\; 2\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )$

Теперь вернёмся к исходному выражению и подставим то, что получилось после сокращения:

$\backslash (3\backslash sqrt\{x\}\; -\; 2\backslash sqrt\{y\}\backslash )\; +\; 5\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$3\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; -\; 2\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )\; +\; 5\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )\; =\; 3\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; +\; 3\backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\backslash (\backslash sqrt\{x\}\; +\; \backslash sqrt\{y\}\backslash )$

А теперь самое интересное! Мы знаем из условия, что $\backslash (\backslash sqrt\{x\}\backslash )\; +\; \backslash (\backslash sqrt\{y\}\backslash )\; =\; 6$ . Подставим это значение:

$3\; \backslash (\backslash times\backslash )\; 6\; =\; 18$

Вот и всё! Мы нашли значение выражения.

Ответ: 18