17 Найдите площадь прямоугольного треугольника АВС, изображённого на рисунке.

Решение:

На рисунке изображен прямоугольный треугольник ABC. Высота CH делит основание AB на два отрезка AH и HB. Также нам даны длины отрезков: AH = 24, CH = 12, BC = 15.

В прямоугольном треугольнике ABC, CH является высотой, проведенной из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Однако, в данном случае, мы имеем дело с тем, что треугольник ABC не является прямоугольным, так как прямой угол не указан явно. Вероятно, имеется в виду, что угол ACB = 90 градусов, и CH - высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. По теореме Пифагора:

\( CH^2 + HB^2 = BC^2 \)

\( 12^2 + HB^2 = 15^2 \)

\( 144 + HB^2 = 225 \)

\( HB^2 = 225 - 144 \)

\( HB^2 = 81 \)

\( HB = \sqrt{81} = 9 \)

Теперь мы знаем длины отрезков AH и HB:

AH = 24

HB = 9

Длина гипотенузы AB равна сумме отрезков AH и HB:

\( AB = AH + HB = 24 + 9 = 33 \)

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

\( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \)

В данном случае основанием является AB, а высотой — CH.

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CH \)

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 33 \times 12 \)

\( S_{ABC} = 33 \times 6 \)

\( S_{ABC} = 198 \)

Ответ: 198