17. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³-6x²+4, укажите ее экстремумы.

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также ее экстремумы, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 4 \):
   \[ f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 4)' = 3x^2 - 12x \]
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
   \[ 3x^2 - 12x = 0 \]
   \[ 3x(x - 4) = 0 \]
   Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • На интервале \( (-\infty, 0) \): Возьмем, например, \( x = -1 \). \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (0, 4) \): Возьмем, например, \( x = 1 \). \( f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (4, +\infty) \): Возьмем, например, \( x = 5 \). \( f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 3(25) - 60 = 75 - 60 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
4. Определим экстремумы:
   
   • В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
     \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 4 = 4 \). Точка максимума: \( (0, 4) \).
   • В точке \( x = 4 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
     \( f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 4 = 64 - 6(16) + 4 = 64 - 96 + 4 = -28 \). Точка минимума: \( (4, -28) \).

Ответ:
Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0] \) и \( [4, +\infty) \).
Промежутки убывания: \( [0, 4] \).
Экстремумы: максимум в точке \( (0, 4) \), минимум в точке \( (4, -28) \).