17. Найдите среди развёрток развёртку цилиндра, закрасьте её красным цветом. Вычислите площадь поверхности цилиндра, если его высота 10 см, а радиус основания 3 см.

Решение:

Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов.

Среди предложенных развёрток, цилиндру соответствует последняя: прямоугольник с двумя кругами по бокам.

Для вычисления площади поверхности цилиндра используем формулу:

\[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} \]

где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

Площадь основания (круга):

\[ S_{осн} = \pi r^2 \]

Подставляем значение радиуса \( r = 3 \) см:

\[ S_{осн} = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2 \]

Площадь боковой поверхности (прямоугольника):

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]

где \( P_{осн} \) — периметр основания (длина окружности), \( h \) — высота цилиндра.

Периметр основания (длина окружности):

\[ P_{осн} = 2 \pi r \]

Подставляем значение радиуса \( r = 3 \) см:

\[ P_{осн} = 2 \pi \cdot 3 \text{ см} = 6\pi \text{ см} \]

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, используя высоту \( h = 10 \) см:

\[ S_{бок} = 6\pi \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 60\pi \text{ см}^2 \]

Теперь найдём полную площадь поверхности цилиндра:

\[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9\pi \text{ см}^2 + 60\pi \text{ см}^2 \]

\[ S_{полн} = 18\pi \text{ см}^2 + 60\pi \text{ см}^2 = 78\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Развёртка цилиндра — прямоугольник с двумя кругами по бокам. Площадь поверхности цилиндра равна \( 78\pi \text{ см}^2 \).