17 Найдите значение выражения $$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$$.

1. Преобразование подкоренного выражения

Выражение под первой квадратным корнем напоминает формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.

Попробуем представить $$7 - 4\sqrt{3}$$ в виде квадрата:

$$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \times 2\sqrt{3}$$.

Нам нужно найти такие $$a$$ и $$b$$, чтобы $$a^2 + b^2 = 7$$ и $$2ab = 4\sqrt{3}$$ (или $$ab = 2\sqrt{3}$$).

Если $$a=2$$ и $$b=\sqrt{3}$$, то:

• $$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$$.
• $$ab = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$.

Значит, $$7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$$.

2. Извлечение корня

Теперь подставим это обратно в выражение:

\[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} \]

Поскольку $$2 = \sqrt{4}$$ и $$\sqrt{4} > \sqrt{3}$$, то $$2 - \sqrt{3} > 0$$. Поэтому:

\[ \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3} \]

3. Окончательный расчет

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

\[ (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \]

Слагаемые $$-\sqrt{3}$$ и $$+\sqrt{3}$$ взаимно уничтожаются:

\[ 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 \]

Ответ: 2