17 Найдите значение выражения 5+√5/5-√5 + 5-√5/5+√5. Решение:

Привет! Давай вместе разберемся с этим выражением. Это задача на алгебру, где нужно упростить дроби с корнями. Держи решение по шагам:

1. Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \[ \frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \] и \[ \frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \] будет произведением их знаменателей: \[ (5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5}) \].
2. Раскроем скобки в общем знаменателе. Это разность квадратов, так что получается: \[ 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20 \].
3. Приведем числители к общему знаменателю. Первую дробь умножим на \[ \frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \], а вторую — на \[ \frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \].
4. Раскроем скобки в числителях:
• Числитель первой дроби: \[ (5+\sqrt{5})(5+\sqrt{5}) = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 + 10\sqrt{5} + 5 = 30 + 10\sqrt{5} \].
• Числитель второй дроби: \[ (5-\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 - 10\sqrt{5} + 5 = 30 - 10\sqrt{5} \].
5. Сложим полученные числители: \[ (30 + 10\sqrt{5}) + (30 - 10\sqrt{5}) = 30 + 10\sqrt{5} + 30 - 10\sqrt{5} = 60 \].
6. Теперь соберем все вместе: \[ \frac{60}{20} \].
7. Сократим дробь: \[ \frac{60}{20} = 3 \].

Ответ: 3