17) Окружности с центрами О₁ и О₂ и радиусами 25 и 9 касаются друг друга внешним образом. Прямая АВ касается меньшей окружности в точке А, а большей окружности в точке В. Найдите АВ.

Решение:

Это задача на нахождение длины общей касательной к двум окружностям. Для ее решения воспользуемся теоремой Пифагора.

1. Построим вспомогательные элементы:
   1. Соединим центры окружностей О₁ и О₂. Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: d = R + r.
   2. Проведем радиусы к точкам касания: О₁А и О₂В. Эти радиусы перпендикулярны касательной АВ.
   3. Через центр меньшей окружности О₁ проведем прямую, параллельную АВ, до пересечения с радиусом О₂В в точке С.
2. Найдем длины сторон прямоугольного треугольника О₁СО₂:
   1. Гипотенуза О₁О₂ равна сумме радиусов: О₁О₂ = 25 + 9 = 34.
   2. Катет СО₂ равен разности радиусов: СО₂ = О₂В - СВ = О₂В - О₁А = 25 - 9 = 16.
   3. Катет О₁С равен длине отрезка АВ (так как О₁АСВ — прямоугольная трапеция, а О₁С — перпендикуляр, опущенный из О₁ на О₂В, при условии, что О₁С || АВ).
3. Применим теорему Пифагора к треугольнику О₁СО₂:
   О₁О₂² = О₁С² + СО₂²
   34² = О₁С² + 16²
   1156 = О₁С² + 256
   О₁С² = 1156 - 256
   О₁С² = 900
   О₁С = √900
   О₁С = 30
4. Вывод: Длина отрезка АВ равна длине отрезка О₁С.

Ответ: 30