17) Окружности с центрами О1 и О2 и радиусами 25 и 9 касаются друг друга внешним образом. Прямая АВ касается меньшей окружности в точке А, а большей окружности в точке В. Найдите АВ.

Решение:

Эта задача решается с помощью теоремы о касательных к окружности и теоремы Пифагора. Рассмотрим рисунок:

• Пусть O1 и O2 — центры окружностей, r1 = 25 и r2 = 9 — их радиусы.
• Прямая AB является общей внешней касательной к обеим окружностям.
• O1A и O2B — радиусы, проведенные в точки касания, поэтому O1A ⊥ AB и O2B ⊥ AB.
• Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: O1O2 = r1 + r2 = 25 + 9 = 34.

Чтобы найти длину отрезка AB, проведем через центр меньшей окружности O2 прямую, параллельную AB. Пусть эта прямая пересекает радиус O1A в точке C.

• Тогда ACO2B — прямоугольник, и AB = CO2.
• AC = O2B = r2 = 9.
• O1C = O1A - AC = r1 - r2 = 25 - 9 = 16.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник O1CO2. По теореме Пифагора:

• O1O22 = O1C2 + CO22
• 342 = 162 + AB2
• 1156 = 256 + AB2
• AB2 = 1156 - 256 = 900
• AB = √900 = 30

Ответ: 30