17. Основания трапеции равны 5 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AB || CD. Основания равны \( AB = 5 \) и \( CD = 14 \). Средняя линия трапеции EF соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.

Диагональ AC пересекает среднюю линию EF в точке K.

Рассмотрим треугольник ABD. Средняя линия трапеции EF параллельна основанию AB. Точка K является серединой диагонали AC, а также точкой пересечения средней линии EF с диагональю AC.

В треугольнике ADC, отрезок EK соединяет середину боковой стороны AD (точка E) с точкой K на диагонали AC. Если K является серединой AC, то EK параллелен DC и \( EK = \frac{1}{2} DC \).

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок BK соединяет вершину B со средней линией EF. Это не дает прямого способа найти длину отрезка.

Однако, есть свойство, что диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Каждый из этих отрезков равен полусумме оснований, к которым он прилегает.

Пусть K — точка пересечения диагонали AC со средней линией EF. Тогда EF делится на отрезки EK и KF.

Отрезок EK параллелен основанию AB и лежит в треугольнике ADC. Отрезок EK соединяет середину боковой стороны AD (точка E) и середину диагонали AC (точка K). По теореме о средней линии треугольника, \( EK = \frac{1}{2} AB \).

Отрезок KF параллелен основанию CD и лежит в треугольнике ABC. Отрезок KF соединяет середину боковой стороны BC (точка F) и середину диагонали AC (точка K). По теореме о средней линии треугольника, \( KF = \frac{1}{2} CD \).

Вычислим длины отрезков:

\( EK = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \)

\( KF = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \)

Длина средней линии EF равна \( EF = EK + KF = 2.5 + 7 = 9.5 \).

Найдем больший из отрезков:

\( KF = 7 \)

\( EK = 2.5 \)

Больший отрезок равен 7.

Ответ: 7