17. Основания трапеции равны 7 и 21, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a = 7 \) и \( b = 21 \). Косинус угла между боковой стороной и основанием равен \( \cos{\alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \).

Найдем синус этого угла: \( \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{24}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7} \).

Высота трапеции \( h = a \cdot \sin{\alpha} \) (где \( a \) — прилежащее основание к углу \( \alpha \)).

В данном случае, если угол при основании \( a=7 \), то \( h = 7 \cdot \frac{5}{7} = 5 \).

Если угол при основании \( b=21 \), то \( h = 21 \cdot \frac{5}{7} = 15 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

При \( h = 5 \): \( S = \frac{7+21}{2} \cdot 5 = \frac{28}{2} \cdot 5 = 14 \cdot 5 = 70 \).

При \( h = 15 \): \( S = \frac{7+21}{2} \cdot 15 = \frac{28}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210 \).

Поскольку в задании не указано, какое основание прилегает к данному углу, возможны два варианта. Обычно выбирается меньшая высота.

Ответ: 70.