17. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 28°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов и взаимно перпендикулярны. Точка пересечения диагоналей — это центр ромба.

Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике один из острых углов равен половине острого угла ромба, а другой — половине тупого угла ромба.

В условии сказано, что перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к стороне, образует с диагональю угол 28°.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Катеты этого треугольника лежат на диагоналях, а гипотенуза — это сторона ромба.

Перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла (точки пересечения диагоналей) к гипотенузе (стороне ромба), делит этот треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Один из углов такого меньшего треугольника равен 28°.

В ромбе углы, образованные диагоналями и стороной, равны:

• Один острый угол прямоугольного треугольника, образованного диагоналями, равен углу между стороной ромба и одной диагональю.
• Другой острый угол этого же прямоугольного треугольника равен углу между стороной ромба и другой диагональю.

Рассмотрим один из четырёх прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Его катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба. Углы этого треугольника равны \(90^{\circ}\), \(\alpha\) и \(\beta\), где \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\).

В условии сказано: перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 28°.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(AB\) — сторона ромба, \(OC\) — перпендикуляр из \(O\) на \(AB\), \(OD\) — часть диагонали, где \(D\) — вершина ромба.

В прямоугольном треугольнике \(OCD\) (где \(\angle OCD = 90^{\circ}\)) угол \(\angle ODC = 28^{\circ}\). Тогда угол \(\angle COD = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}\).

Угол \(\angle COD\) является половиной одного из углов ромба. Значит, один из углов ромба равен \(62^{\circ} \times 2 = 124^{\circ}\).

Это тупой угол ромба. Острый угол ромба находится как \(180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}\).

Альтернативное решение:

Пусть \(2\alpha\) и \(2\beta\) — углы ромба. Диагонали делят ромб на 4 прямоугольных треугольника. Углы такого треугольника равны \(90^{\circ}\), \(\alpha\) и \(\beta\).

Перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла (точки пересечения диагоналей) к гипотенузе (стороне ромба), делит этот прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.

В одном из этих меньших треугольников углы равны \(90^{\circ}\) (прямой угол), \(28^{\circ}\) (дан по условию, между перпендикуляром и диагональю) и \(90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}\).

Угол \(62^{\circ}\) в этом меньшем треугольнике является одним из острых углов большего прямоугольного треугольника, образованного диагоналями. Этот угол равен \(\alpha\) или \(\beta\).

Если \(\alpha = 62^{\circ}\), то острый угол ромба равен \(2\alpha = 2 \times 62^{\circ} = 124^{\circ}\). Это тупой угол.

Если \(\beta = 62^{\circ}\), то острый угол ромба равен \(2\beta = 2 \times 62^{\circ} = 124^{\circ}\). Это тупой угол.

Мы нашли тупой угол ромба. Острый угол ромба равен \(180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}\).

Проверим: Если острый угол ромба равен \(56^{\circ}\), то \(\alpha = 28^{\circ}\). Тупой угол равен \(180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}\), \(\beta = 62^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями, углы равны \(28^{\circ}\) и \(62^{\circ}\). Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, образует с катетами углы. Один из этих углов равен \(28^{\circ}\). Это соответствует условию.

Ответ: 56°.