17. Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Точка L – середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABCL.

Решение:

Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Точка L является серединой стороны CD.

Площадь трапеции ABCL можно найти как площадь параллелограмма ABCD минус площадь треугольника ABL.

Однако, более простой способ: площадь трапеции ABCL равна сумме площади параллелограмма ABMD (где M - середина BC) и площади треугольника MDL.

Рассмотрим площадь трапеции ABCL. Так как L - середина CD, то CL = LD. Параллелограмм ABCD имеет основание CD и высоту h. Его площадь S_ABCD = CD * h = 124.

Трапеция ABCL имеет основания AB и CL. AB = CD, так как ABCD - параллелограмм.

Высота трапеции ABCL, проведенная из L к AB (или к продолжению AB), будет равна высоте параллелограмма, h.

Площадь трапеции ABCL равна \( \frac{AB + CL}{2} \cdot h \).

Так как AB = CD, то AB = 2 * CL. Подставляем это в формулу площади:

S_ABCL = \( \frac{2CL + CL}{2} \cdot h = \frac{3CL}{2} \cdot h \).

Также, площадь параллелограмма ABCD = CD * h = (2 * CL) * h = 124.

Из этого следует, что CL * h = 124 / 2 = 62.

Теперь подставим это значение в формулу площади трапеции:

S_ABCL = \( \frac{3}{2} \cdot (CL \cdot h) = \frac{3}{2} \cdot 62 = 3 \cdot 31 = 93 \).

Альтернативный способ:

Площадь треугольника ACL равна половине площади параллелограмма ABMD (где M - середина BC). Это неверно.

Рассмотрим треугольник ALD. Его основание LD = 1/2 CD. Высота треугольника ALD, проведенная из A к CD, равна высоте параллелограмма h. S_ALD = \( \frac{1}{2} \cdot LD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} CD \cdot h = \frac{1}{4} (CD \cdot h) = \frac{1}{4} S_ABCD = \frac{1}{4} \cdot 124 = 31 \).

Площадь треугольника BCL. Основание CL = 1/2 CD. Высота треугольника BCL, проведенная из B к CD, равна высоте параллелограмма h. S_BCL = \( \frac{1}{2} \cdot CL \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} CD \cdot h = \frac{1}{4} (CD \cdot h) = \frac{1}{4} S_ABCD = \frac{1}{4} \cdot 124 = 31 \).

Площадь трапеции ABCL = Площадь параллелограмма ABCD - Площадь треугольника ALD - Площадь треугольника BCL.

S_ABCL = S_ABCD - S_ALD - S_BCL = 124 - 31 - 31 = 124 - 62 = 62.

Проверим еще раз. Вторая попытка расчета площади трапеции ABCL.

S_ABCL = S_ABCD - S_ACL - S_BCL. Это неверно, точка L на стороне CD.

S_ABCL = S_ABCD - S_ALD - S_BCL. Неверно.

S_ABCL = S_ABCD - S_ABD + S_ACL. Неверно.

Правильный подход:

Площадь параллелограмма ABCD = 124. Пусть высота параллелограмма равна h, а основание CD (и AB) равно a. Тогда \( a \cdot h = 124 \).

Точка L - середина CD, значит, CL = LD = a/2.

Трапеция ABCL имеет основания AB и CL, и высоту h. Основание AB = a, основание CL = a/2.

Площадь трапеции ABCL = \( \frac{AB + CL}{2} \cdot h = \frac{a + a/2}{2} \cdot h = \frac{3a/2}{2} \cdot h = \frac{3a}{4} \cdot h \).

Так как \( a \cdot h = 124 \), то \( \frac{3a}{4} \cdot h = \frac{3}{4} (a \cdot h) = \frac{3}{4} \cdot 124 \).

\( \frac{3}{4} \cdot 124 = 3 \cdot \frac{124}{4} = 3 \cdot 31 = 93 \).

Ответ: 93