17. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, п стороны АВ И ВС в точках М и № соответственно, АС = 32, (см. рис. 180). Площадь треугольника АВС равна 96. Найдит

По условию, прямая MN параллельна AC. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Площадь треугольника ABC равна 96, а сторона AC равна 32. Пусть высота, опущенная из вершины B на сторону AC, равна h. Тогда площадь ABC = 0.5 * AC * h = 0.5 * 32 * h = 16h = 96, откуда h = 6.

Так как треугольники подобны, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Отношение сторон MN/AC равно отношению высот из B к MN и AC. Пусть высота из B к MN равна h1. Тогда MN/AC = h1/h. Площадь MBN = 0.5 * MN * h1. Площадь ABC = 0.5 * AC * h. Отношение площадей MBN/ABC = (MN/AC)^2 = (h1/h)^2.

Из рисунка видно, что точка M делит сторону AB пополам, и точка N делит сторону BC пополам. Следовательно, MN является средней линией треугольника ABC, и MN = 0.5 * AC.

MN = 0.5 * 32 = 16.