Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17 Прямоугольник ABCD разделён отрезками КМ и LN на четыре меньших прямоугольника. Площади прямоугольников АКРN, BKPL, CLPM…Фото задания

Ответ:

Решение:

Пусть площади прямоугольников будут:

  • AKPN = 45
  • BKPL = 72
  • CLPM = ?
  • LNDM = ?

Мы знаем, что площади прямоугольников, примыкающих друг к другу по одной стороне, относятся как их длины сторон.

Сравним площади прямоугольников AKPN и BKPL. Они имеют общую сторону KP. Значит, отношение их площадей равно отношению их сторон AK и KB:

\( \frac{AKPN}{BKPL} = \frac{AK}{KB} \)

\( \frac{45}{72} = \frac{AK}{KB} \)

Сократим дробь \( \frac{45}{72} \) на 9:

\( \frac{45}{72} = \frac{5}{8} \)

Теперь сравним площади прямоугольников AKPN и L NCP. Они имеют общую сторону KN. Значит, отношение их площадей равно отношению их сторон KP и PN:

\( \frac{AKPN}{LNCP} = \frac{KP}{PN} \)

Мы знаем, что площадь CLPM = 75. Значит, площадь LNCP = 75.

\( \frac{45}{75} = \frac{KP}{PN} \)

Сократим дробь \( \frac{45}{75} \) на 15:

\( \frac{45}{75} = \frac{3}{5} \)

Теперь сравним площади прямоугольников BKPL и CLPM. Они имеют общую сторону PL. Значит, отношение их площадей равно отношению их сторон KB и LC:

\( \frac{BKPL}{CLPM} = \frac{KB}{LC} \)

\( \frac{72}{75} = \frac{KB}{LC} \)

Сократим дробь \( \frac{72}{75} \) на 3:

\( \frac{72}{75} = \frac{24}{25} \)

Теперь воспользуемся тем, что отношение сторон AK/KB должно быть одинаковым для обоих столбцов прямоугольников.

Из первого столбца: \( \frac{AK}{KB} = \frac{5}{8} \)

Из второго столбца: \( \frac{LC}{CM} \)

А отношение сторон KP/PN должно быть одинаковым для обеих строк прямоугольников.

Из первой строки: \( \frac{KP}{PN} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} \)

Пусть неизвестная площадь прямоугольника CLPM (изначально была 75, но это площадь CLPM, а у нас есть 75 и 72, которые соседствуют с 45, значит, 75 — это площадь L NCP, а 72 — площадь BKPL) будет x.

Тогда у нас есть:

  • AKPN = 45
  • BKPL = 72
  • L NCP = 75
  • CLPM = x

Соотношение сторон по вертикали:

\( \frac{AK}{KB} = \frac{45}{72} = \frac{5}{8} \)

\( \frac{LN}{MD} = \frac{75}{x} \)

Поскольку \( \frac{AK}{KB} = \frac{LN}{MD} \), мы можем записать:

\( \frac{5}{8} = \frac{75}{x} \)

Решаем уравнение:

\( 5x = 8 \times 75 \)

\( 5x = 600 \)

\( x = \frac{600}{5} \)

\( x = 120 \)

Итак, площадь прямоугольника CLPM равна 120.

Теперь найдем общую площадь прямоугольника ABCD.

Площадь ABCD = Площадь AKPN + Площадь BKPL + Площадь L NCP + Площадь CLPM

Площадь ABCD = 45 + 72 + 75 + 120

Площадь ABCD = 312

Проверка:

Отношение сторон по горизонтали:

\( \frac{KP}{PN} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} \)

\( \frac{PL}{LM} = \frac{72}{120} = \frac{6 \times 12}{10 \times 12} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

Отношения равны, значит, расчеты верны.

Ответ: 312