17.Решить неравенство: 3) (2/3)^(3+x) <= (3/2)^(-2/x)

Решение:

Заметим, что \( \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \).

Подставим это в неравенство:

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{3+x} \le \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{-2/x} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{3+x} \le \left(\frac{2}{3}\right)^{2/x} \)

Так как основание степени \( \frac{2}{3} < 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\( 3+x \ge \frac{2}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 3+x - \frac{2}{x} \ge 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3x + x^2 - 2}{x} \ge 0 \)

\( \frac{x^2 + 3x - 2}{x} \ge 0 \)

Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 + 3x - 2 = 0 \) по формуле корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \]

Корни числителя: \( x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \) и \( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \). Корень знаменателя: \( x=0 \).

\( \sqrt{17} \) примерно равно \( 4.12 \).

\( x_1 \approx \frac{-3 - 4.12}{2} = \frac{-7.12}{2} = -3.56 \)

\( x_2 \approx \frac{-3 + 4.12}{2} = \frac{1.12}{2} = 0.56 \)

Расставим точки на числовой оси: \( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0, \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \).

Проверим знаки на интервалах для \( \frac{x^2 + 3x - 2}{x} \ge 0 \):

• \( x < \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \): \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \)
• \( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} < x < 0 \): \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \)
• \( 0 < x < \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \): \( \frac{(-)}{+} = (-) \)
• \( x > \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \): \( \frac{(+)}{+} = (+) \)

Нам нужно \( \ge 0 \). Учитывая, что \( x
e 0 \), а числитель может быть равен нулю:

\( x \in \left[\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0\right) \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right) \)

Ответ: \( x \in \left[\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0\right) \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right) \).