17. Решите неравенство 49^{x+1} \(\leq\) \(\frac{1}{7}\)^x

Решение:

1. Перепишем неравенство, приведя основания к одному виду. Заметим, что \( 49 = 7^2 \) и \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \).
2. Подставим это в исходное неравенство: \( (7^2)^{x+1} \leq (7^{-1})^x \)
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \): \( 7^{2(x+1)} \leq 7^{-x} \)
4. Раскроем скобки в показателе степени: \( 7^{2x+2} \leq 7^{-x} \)
5. Поскольку основание степени \( 7 > 1 \), при сравнении степеней знак неравенства сохраняется: \( 2x+2 \leq -x \)
6. Решим линейное неравенство: \( 2x + x \leq -2 \)
7. \( 3x \leq -2 \)
8. \( x \leq -\frac{2}{3} \)

Ответ: \( x \leq -\frac{2}{3} \).