17. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Свойства равнобедренной трапеции:

• Углы при каждом основании равны.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
• Обозначим углы трапеции как A, B, C, D, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны.
• Углы при основании равны: ∠A = ∠B и ∠C = ∠D.
• Сумма углов при боковой стороне: ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°.

2. Рассмотрим два случая для суммы двух углов:

Случай 1: Сумма двух смежных углов при боковой стороне.

• Пусть сумма двух углов при боковой стороне равна 220°. Это невозможно, так как сумма таких углов всегда равна 180°.

Случай 2: Сумма двух углов у одного основания и угла при боковой стороне.

Случай 3: Сумма двух углов, где один из них является углом при одном основании, а другой — углом при другом основании.

Случай 4: Сумма двух углов при одном из оснований.

• Если сумма двух углов при одном основании равна 220°, то каждый из этих углов равен 220° / 2 = 110°.
• Это углы при большем основании, так как они должны быть тупыми.
• Тогда углы при другом основании будут: 180° - 110° = 70°.
• В этом случае, меньший угол трапеции равен 70°.

Случай 5: Сумма двух углов, прилежащих к разным основаниям, но не смежных.

• Пусть это будут углы A и C. ∠A + ∠C = 220°.
• Мы знаем, что ∠A = ∠B и ∠C = ∠D.
• Также ∠A + ∠D = 180°.
• Если ∠A + ∠C = 220°, и ∠A = ∠B, ∠C = ∠D, то ∠B + ∠D = 220°.
• Сумма всех углов трапеции: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
• (∠A + ∠B) + (∠C + ∠D) = 360°.
• (∠A + ∠D) + (∠B + ∠C) = 360°.
• 180° + 180° = 360°.
• Если ∠A + ∠C = 220°, и ∠A = ∠B, ∠C = ∠D, то ∠A + ∠D = 180°.
• Подставим ∠D = 180° - ∠A в ∠A + ∠C = 220°:
• ∠A + ∠C = 220°.
• ∠C = 180° - ∠A.
• ∠A + (180° - ∠A) = 180°. Это не даёт нам решения.
• Давайте вернёмся к тому, что два угла, сумма которых равна 220°, могут быть:
• а) Два тупых угла при одном основании: 110° + 110° = 220°. Тогда углы при другом основании 180° - 110° = 70°. Меньший угол 70°.
• б) Один тупой и один острый угол, но так, чтобы их сумма была 220°. Это невозможно, так как сумма смежных углов при боковой стороне 180°.
• в) Два угла, прилежащих к разным основаниям. Например, ∠A и ∠C. ∠A + ∠C = 220°.
• Если ∠A - острый, а ∠C - тупой.
• ∠A + ∠D = 180°, ∠A + ∠C = 220°.
• ∠C = 180° - ∠A + 180° = 360° - ∠A. Это неверно.
• Рассмотрим другой вариант: два угла, которые могут быть тупыми.
• В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, и углы при другом основании равны.
• Пусть углы при одном основании равны \( α \), а при другом \( β \).
• \( α + β = 180° \).
• Если сумма двух углов равна 220°, то это могут быть либо два угла \( β \), либо один \( α \) и один \( β \), но так, чтобы они были тупыми.
• Если \( 2 β = 220° \), то \( β = 110° \).
• Тогда \( α = 180° - 110° = 70° \).
• Меньший угол равен 70°.
• Если сумма одного острого и одного тупого угла равна 220°, то \( α + β = 220° \).
• Но мы знаем, что \( α + β = 180° \). Этот случай невозможен.

Вывод: Два угла, сумма которых равна 220°, должны быть двумя тупыми углами при одном из оснований.

Ответ: 70