17 Сумма цифр трёхзначного числа равна 4. Если в этом числе поменять местами цифры, стоящие в разряде сотен и единиц, то число увеличится на 198. Найдите это число.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе. Здесь нас просят найти трехзначное число по двум условиям.

Дано:

• Трехзначное число.
• Сумма его цифр равна 4.
• Если поменять местами цифры сотен и единиц, число увеличится на 198.

Решение:

Пусть наше трехзначное число будет представлено как $$100a + 10b + c$$, где $$a$$ — цифра сотен, $$b$$ — цифра десятков, $$c$$ — цифра единиц.

Из первого условия мы знаем, что сумма цифр равна 4:

\[ a + b + c = 4 \]

Из второго условия, когда мы меняем местами цифры сотен ($$a$$) и единиц ($$c$$), новое число будет $$100c + 10b + a$$. Это новое число больше исходного на 198. Запишем это в виде уравнения:

\[ (100c + 10b + a) - (100a + 10b + c) = 198 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 100c + 10b + a - 100a - 10b - c = 198 \]

\[ 99c - 99a = 198 \]

Разделим обе части на 99:

\[ c - a = 2 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \[ a + b + c = 4 \]
2. \[ c - a = 2 \]

Из второго уравнения выразим $$c$$ через $$a$$:

\[ c = a + 2 \]

Подставим это выражение для $$c$$ в первое уравнение:

\[ a + b + (a + 2) = 4 \]

\[ 2a + b + 2 = 4 \]

\[ 2a + b = 2 \]

Теперь нам нужно найти такие цифры $$a$$, $$b$$, $$c$$, чтобы выполнялись все условия. Помни, что $$a$$, $$b$$, $$c$$ — это цифры, то есть они могут быть от 0 до 9. Также, поскольку число трехзначное, $$a$$ не может быть равно 0.

Рассмотрим уравнение $$2a + b = 2$$:

• Если $$a = 1$$, то $$2(1) + b = 2 \rightarrow 2 + b = 2 \rightarrow b = 0$$.
• Теперь найдем $$c$$ из условия $$c = a + 2$$: $$c = 1 + 2 = 3$$.

Проверим полученные цифры: $$a=1$$, $$b=0$$, $$c=3$$.

• Сумма цифр: $$1 + 0 + 3 = 4$$. (Верно!)
• Исходное число: 103.
• Число после перестановки сотен и единиц: 301.
• Разница: $$301 - 103 = 198$$. (Верно!)

Таким образом, мы нашли искомое число.

Ответ: 103