17. Тип 17 № 7259 Вычислите 1 / (√2-1) - 1 / (√3-√2) + 1 / (√3-√2)

Решение:

Перепишем выражение, чтобы упростить его:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]

Заметим, что два последних члена выражения взаимно уничтожаются:

\[ - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = 0 \]

Таким образом, остается вычислить только первый член:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}-1} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $$(\sqrt{2}+1)$$:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}-1}  \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2}+1}{1} = \sqrt{2}+1 \]

Ответ: √2 + 1