17. Тип 17 № 7262 i Найдите значение выражения 1/4 * ( (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1) - 2 * (sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+1) + 1 )^2

Давай посчитаем значение этого выражения шаг за шагом!

1. Первым делом упростим дроби в скобках:
   • \[ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2} \]
   • \[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]
2. Теперь подставим упрощенные дроби обратно в выражение в скобках:
   • \[ (3 - 2\sqrt{2}) - 2(2 - \sqrt{3}) + 1 \]
   • \[ 3 - 2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} + 1 \]
   • \[ (3 - 4 + 1) - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \]
   • \[ 0 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \]
3. Возведем полученное выражение в квадрат:
   • \[ (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 = (2(\sqrt{3} - \sqrt{2}))^2 = 4(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \]
   • \[ 4((\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) \]
   • \[ 4(3 - 2\sqrt{6} + 2) \]
   • \[ 4(5 - 2\sqrt{6}) = 20 - 8\sqrt{6} \]
4. Наконец, умножим результат на 1/4:
   • \[ \frac{1}{4}(20 - 8\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} \]

Ответ: 5 - 2√6