17. Тип 17 № 7262 Найдите значение выражения 1 (√2-1-2√3-1+1) 4√2+1√3+1 2

Привет! Давай разберемся с этим примером по шагам.

Шаг 1: Упростим выражение под корнем.

Сначала раскроем квадрат:

\[ \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \]

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[ \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \times \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{(3 - 2\sqrt{2})^2}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9 - 12\sqrt{2} + 8}{9 - 8} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{1} = 17 - 12\sqrt{2} \]

Теперь рассмотрим вторую часть выражения под корнем:

\[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

Подставим найденные значения обратно:

\[ \frac{1}{4} \left( (17 - 12\sqrt{2}) - 2(2 - \sqrt{3}) + 1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 17 - 12\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} + 1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 14 - 12\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 \]

Шаг 2: Возведем в квадрат.

Это будет довольно громоздко. Давай проверим условие еще раз, возможно, есть более простой путь или опечатка.

Если предположить, что в условии имелось в виду:

\[ \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} - 2 \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} + 1 \right)^2 \]

Тогда:

\[ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2} \]

\[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

Подставляем:

\[ \frac{1}{4} \left( (3 - 2\sqrt{2}) - 2(2 - \sqrt{3}) + 1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 3 - 2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} + 1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \left( 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right)^2 = \frac{1}{4} \times 4 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \]

\[ = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6} \]

Если это задача из учебника, то, возможно, имелась в виду другая запись. Часто подобные выражения упрощаются до более простых чисел.

Однако, если брать исходный вид, то вычисление будет сложным.

Давай перепроверим решение первой части:

\[ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2} \]

\[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

Теперь подставим в исходное выражение:

\[ \frac{1}{4} \left( (3 - 2\sqrt{2}) - 2(2 - \sqrt{3}) + 1 \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \left( 3 - 2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} + 1 \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \left( (3 - 4 + 1) - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \left( 0 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \left( 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right)^2 \]

\[ = \frac{1}{4} \times 4 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \]

\[ = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \]

\[ = 3 - 2\sqrt{6} + 2 \]

\[ = 5 - 2\sqrt{6} \]

Ответ: 5 - 2√6