Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17) Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность…Фото задания

Ответ:

17. Решение:

Пусть задуманные числа будут a и b. Мы знаем, что они натуральные, то есть целые положительные числа.

Из условия задачи мы знаем:

  1. Сумма чисел равна 23:
    \( a + b = 23 \)
  2. Разность чисел больше 7 и меньше 11. Обозначим разность как d. Так как мы не знаем, какое число больше, мы используем модуль для разности:
    \( 7 < |a - b| < 11 \)

Рассмотрим возможные значения разности (|a - b|), которые являются целыми числами:

  • |a - b| = 8
  • |a - b| = 9
  • |a - b| = 10

Теперь для каждого случая найдем числа a и b.

Случай 1: |a - b| = 8

Это означает, что либо a - b = 8, либо b - a = 8. Рассмотрим первый вариант:

  • a + b = 23
  • a - b = 8

Сложим эти два уравнения:

\( (a + b) + (a - b) = 23 + 8 \)
\( 2a = 31 \)
\( a = \frac{31}{2} = 15.5 \)

Так как 15.5 не является натуральным числом, этот случай нам не подходит.

Рассмотрим второй вариант:

  • a + b = 23
  • b - a = 8

Сложим эти два уравнения:

\( (a + b) + (b - a) = 23 + 8 \)
\( 2b = 31 \)
\( b = \frac{31}{2} = 15.5 \)

Опять получили не натуральное число, значит, при разности 8 натуральных чисел в сумме 23 найти не получится.

Случай 2: |a - b| = 9

  • a + b = 23
  • a - b = 9

Сложим уравнения:

\( (a + b) + (a - b) = 23 + 9 \)
\( 2a = 32 \)
\( a = \frac{32}{2} = 16 \)

Теперь найдем b:

\( 16 + b = 23 \)
\( b = 23 - 16 = 7 \)

Получили числа 16 и 7. Оба являются натуральными. Их сумма 16 + 7 = 23. Их разность |16 - 7| = 9. Это значение удовлетворяет условию 7 < 9 < 11.

Рассмотрим второй вариант:

  • a + b = 23
  • b - a = 9

Сложим уравнения:

\( (a + b) + (b - a) = 23 + 9 \)
\( 2b = 32 \)
\( b = \frac{32}{2} = 16 \)

Теперь найдем a:

\( a + 16 = 23 \)
\( a = 23 - 16 = 7 \)

Получили числа 7 и 16. Это та же пара чисел.

Случай 3: |a - b| = 10

  • a + b = 23
  • a - b = 10

Сложим уравнения:

\( (a + b) + (a - b) = 23 + 10 \)
\( 2a = 33 \)
\( a = \frac{33}{2} = 16.5 \)

Не является натуральным числом.

Рассмотрим второй вариант:

  • a + b = 23
  • b - a = 10

Сложим уравнения:

\( (a + b) + (b - a) = 23 + 10 \)
\( 2b = 33 \)
\( b = \frac{33}{2} = 16.5 \)

Не является натуральным числом.

Доказательство, что других вариантов нет:

Мы рассмотрели все возможные целые значения разности (|a - b|) в заданном диапазоне (от 7 до 11). Были проверены оба варианта для каждой разности (a - b = d и b - a = d). В результате только при разности, равной 9, мы получили два натуральных числа, сумма которых равна 23. Поэтому существует только один вариант таких чисел.

Ответ: 16 и 7