17. В окружности с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно 5/3. Найдите сторону треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (точка О) совпадает с центром описанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Расстояние от центра \( O \) до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности \( r \). Таким образом, \( r = \frac{5}{3} \).

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны соотношением:

\[ R = 2r \]

Следовательно, радиус описанной окружности:

\[ R = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \]

Радиус описанной окружности \( R \) и сторона равностороннего треугольника \( a \) связаны формулой:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Выразим сторону \( a \) через радиус описанной окружности:

\[ a = R\sqrt{3} \]

Подставим значение \( R \):

\[ a = \frac{10}{3} \sqrt{3} \]

Ответ: \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \).