Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
17. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Площадь трапеции DAEC равна 111. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Ответ:
Краткое пояснение: Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции можно найти как полусумму оснований, умноженную на высоту. Так как E - середина AB, то DE и EC являются основаниями трапеции DAEC, а высота трапеции равна высоте параллелограмма.
Пошаговое решение:
- Обозначим высоту параллелограмма как h.
- Площадь трапеции DAEC можно выразить как: \( S_{DAEC} = \frac{AD + EC}{2} \cdot h \)
- Площадь параллелограмма ABCD равна: \( S_{ABCD} = AD \cdot h \)
- Рассмотрим треугольник EBC. Если AD = BC, а E - середина AB, то площадь треугольника EBC равна половине площади параллелограмма, если бы BC было основанием, а высота была бы h.
- Однако, у нас трапеция DAEC. Если E - середина AB, то AE = EB.
- Площадь параллелограмма ABCD = Площадь трапеции DAEC + Площадь треугольника EBC.
- Площадь треугольника EBC: \( S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot h \).
- Так как E - середина AB, то AE = EB = \( \frac{1}{2} \cdot AB \).
- В параллелограмме AB = CD.
- Площадь трапеции DAEC = 111.
- Рассмотрим площадь параллелограмма ABCD. Если провести диагональ AC, она разделит параллелограмм на два равных по площади треугольника ABC и ADC.
- Площадь треугольника ADC = \( \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AB} \), где \( h_{AB} \) - высота, проведенная к стороне AB.
- Площадь параллелограмма ABCD = \( AD \cdot h \) (где h - высота, проведенная к основанию AD).
- Или Площадь параллелограмма ABCD = \( AB \cdot h' \) (где \( h' \) - высота, проведенная к основанию AB).
- Рассмотрим площадь трапеции DAEC. Ее основаниями являются AD и EC. Высота трапеции равна высоте параллелограмма, проведенной к основанию AD.
- Рассмотрим площадь треугольника EBC. Его основание EB = \( \frac{1}{2} \cdot AB \). Высота, проведенная к основанию EB, равна высоте параллелограмма, проведенной к основанию AB.
- Площадь параллелограмма ABCD = Площадь трапеции DAEC + Площадь треугольника EBC.
- Пусть высота параллелограмма, проведенная к основанию AB, равна h'. Тогда площадь параллелограмма ABCD = \( AB \cdot h' \).
- Площадь треугольника EBC = \( \frac{1}{2} \cdot EB \cdot h' = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} AB) \cdot h' = \frac{1}{4} AB \cdot h' = \frac{1}{4} S_{ABCD} \).
- Площадь трапеции DAEC = \( S_{ABCD} - S_{EBC} = S_{ABCD} - \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{3}{4} S_{ABCD} \).
- Нам дано, что Площадь трапеции DAEC = 111.
- Таким образом, \( \frac{3}{4} S_{ABCD} = 111 \).
- \( S_{ABCD} = 111 \cdot \frac{4}{3} \)
- \( S_{ABCD} = 37 \cdot 4 \)
- \( S_{ABCD} = 148 \).
Ответ: 148
