17. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключённые внутри параллелограмма, равны. 18. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что AE = CF.

17. Пусть в параллелограмме ABCD проведены биссектрисы противоположных углов A и C, пересекающие стороны BC и AD соответственно в точках M и N.

1. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠A = ∠C. Их половины также равны: ∠BAM = ∠DCN.
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Поэтому ∠ABM = ∠CDN (это углы между параллельными прямыми).
3. Треугольники ABM и CDN подобны по двум углам. В параллелограмме AB = CD, поэтому коэффициент подобия равен 1.

Следовательно, AM = CN: отрезки биссектрис, лежащие внутри параллелограмма, равны.

18. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно, OB = OD. Углы AEO и CFO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей EF. Углы AOE и COF равны как вертикальные.

Значит, треугольники AEO и CFO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (в частности, по стороне OB = OD и двум равным углам). Поэтому соответствующие стороны AE и CF равны.

Ответ: AE = CF.