17. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 11, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть \( △ ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( ∠ C = 90° \).

По условию, один из катетов равен 11. Пусть \( AC = 11 \).

Угол, лежащий напротив этого катета, равен 45°. Значит, \( ∠ ABC = 45° \).

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°:

\[ \angle BAC + \angle ABC = 90° \]\[ \angle BAC = 90° - \angle ABC \]\[ \angle BAC = 90° - 45° \]\[ \angle BAC = 45° \]

Так как \( ∠ ABC = ∠ BAC = 45° \), то треугольник \( △ ABC \) является равнобедренным. Следовательно, катеты равны: \( AC = BC \).

Так как \( AC = 11 \), то \( BC = 11 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 11 \]\[ S = \frac{121}{2} \]\[ S = 60.5 \]

Ответ: 60.5