17. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Пусть трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание. Высота равна 5, угол при основании A равен 45°.

Проведем высоту из вершины B на основание AD, обозначим точку пересечения H. Получим прямоугольный треугольник ABH.

В треугольнике ABH:

• Угол BAH = 45°.
• Угол AHB = 90° (так как BH — высота).
• Угол ABH = 180° - 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный прямоугольный, так как углы при основании AH равны.

Так как BH — высота, её длина равна 5. В равнобедренном треугольнике ABH, AH = BH = 5.

Теперь найдем длину основания AD. AD = AH + HD + BC. В равнобедренной трапеции отрезки от вершин меньшего основания до концов большего основания равны, то есть HD = BC. Нам известно, что меньшее основание (BC) равно 3.

Тогда AD = AH + HD + BC = 5 + 3 + 5 = 13.

Ответ: 13